Categorized under: Пъзели

Вероятностите не са това, което са …

Най много обичам да попадна на пъзел, на който на практика никой не може да отговори убедително, а по форумите с решенията 95% от хората бъркат :). Затова започвам този раздел с интересна задачка-закачка:

В петък започвате нова работа и колежката Дани ви разказва как са прекарали ваканцията двете и деца, като споменава че Петя хвана сериозна настинка и трябваше да се приберем по средата на почивката“. Веднага след това шефа се показва на вратата и ви стоварва работа до края на следващата ледникова епоха.

Освен че това изключва каквато и да е последваща среща с Дани до края на месеца, започва да ви гложди въпросът какъв ли пол е другото дете на Дени?

Ако за простота вероятността за раждане на момче е 50%, то каква е вероятността децата на Дени да са момче и момиче? Обосновете се!

Решението е … забавно :). Добре дошли в света на вероятностите!

Интуитивното (и съответно, грешно) решение е да се започне така – имаме четири равновероятни случая – момче/момиче, момиче/момче, момче/момче и момиче/момиче. След като е казано име на момиче, очевидно имаме само три възможности останали. А както заключихме те са равновероятни, и 2 от тях са момче-момиче. Тоест отговорът е

P = \frac{2}{3}

Лесно, нали? Усетихте ли се къде сбъкахме в решението? Разбира се в „очевидното“. Самият факт, че имаме вече наблюдение дава основание да заподозрем че вероятността на събитията се поменя. А ние просто го замазахме с „очевидно“ с надеждата никой да не погледне насам.

Коректното решение започва така:

Задачата можем да я преформулираме така: Нека събитието A е децата на Дени да са момче и момиче. Нека събитието Дени да има поне едно момиче означим с B. Тъй като вероятността за момче е \frac{1}{2}, то от 4-те равновероятни възможности Момче/Момче, Момиче/Момче, Момче/Момиче и Момче/Момче децата на Дени са момче и момиче в 2 от 4-те случая, то априорната вероятност Дени да има момче и момиче е \frac{1}{2}.

P(A) = \frac{1}{2}

Каква е вероятността Дени да каже име на момиче? Тук е ключа на задачата. Ако Дени има момче и момиче (събитие с вероятност \frac{1}{2}), то вероятността да е казала името на момичето е \frac{1}{2}, тоест хем да има такива деца хем да е казала името на момичето вероятността е \frac{1}{4}. Ако Дени да има две момичета (събитие с вероятност \frac{1}{4}), то 100% ще каже име на момиче, затова вероятността на събитието хем да има две момичета, хем да каже име на момиче има вероятност \frac{1}{4}. Ако Дени има две момчета, то тя не може да каже името на момиче, така че тази възможност отпада. Така получихме че вероятността Дени да каже име на момиче е

P(B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2},

което разбира се може да заключим и от симетрията (априорно, без никакви данни, логично е вероятността да каже име на момче е равна на тази да каже име на момиче, демек \frac{1}{2}).

Сега ключовия момент в разсъждението е да сметнем вероятността има поне едно момиче, при положение децата и са момче и момиче, именно колко е P(B|A)? Тоест, ако едното дете е момиче, а другото е момче, то каква е вероятността Дени да има момиче? Очевидно

P(B|A) = 1

Тогава по формулата на Бейс пресмятаме отговора „Колко е вероятността на A, ако се е случило B?“:

P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{1 . \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

Ясно?

Comments

  1. 50%? Математическото обяснение ти ще го дадеш, защото аз каквото знаех от комбинаторика, съвсем съм го забравила.
    Чисто логически имаме две позиции с по две възможни стойности: 2 момичета, момиче и момче, момче и момиче, 2 момчета. От тях половината отговарят на условието децата да са от различен пол. Сега ми кажи дежурното „да, но това не е точно така…“ и ще те удуша.
    PS: С тази задача рискуваш да скочат срещу теб с аргумента, че има и същества с трудно определим пол, които също имат права. :-D
    PS2: Защо ме караш да мисля в 1 ч през нощта?


    rendeto
    декември 15th, 2009
  2. и аз мисля че е така обаче никой не е казал че петя е едно от децата :D


    BlackApostle
    декември 15th, 2009
  3. Въпросът е каква е вероятността да са момче и момиче. Дали Петя е едно от децата не виждам как променя условието. Мен ме притеснява, че Дени и Дани може да са различни хора и в такъв случай нямаме информация относно броя на децата. A тогава става мазало…


    rendeto
    декември 15th, 2009
  4. Така е не променя условието обаче ми направи впечатление, ама май Боно просто е омазал цялата задача :D


    BlackApostle
    декември 15th, 2009
  5. Така, аз решението почти го написах (като ме поправиха два пъти вече :-D) така че скоро ще разберете отговора като го публикувам ;-).

    Рени има голямо значение. Съгласен съм че априори има 4 възможности, но при положение че знаеш че едното от децата е момиче, това изключва варианта момче-момче, нали? Значи не би ли трябвало да имаш 3 възможности само?


    Боно
    декември 16th, 2009
  6. Прав си. Бих могла да се заяждам, че е дискриминация да забраняваш на хората да си кръстят момченцето Петя, но няма да го направя. :)
    И все пак да беше написал условието по-ясно. Не да гадаем какво е искал да каже авторът, това печатни грешки ли са и дали е имал предвид точно това, което е казал.


    rendeto
    декември 16th, 2009
  7. Бръм, ето ви решението в текста :).

    Всъщност Рени имаш малка грешка в разсъждението, а именно че как така имаш 4 случая, нали имаш поне едно момиче – Петя. Значи отпада случая две момчета :-D.

    Дори се чудя как Марко не се е сетил да ти я поправи :-).


    admin
    декември 18th, 2009
  8. Aз нищо не помня от математиката и вероятностите, и сигурно ще ми се смеете, но бих дала такова решение без формули: Ако човек има две деца, те може да са или f/f или f/m или m/m, Щом е казала име на момиче, със сигурност не са m/m. Oстава да са или f/f или f/m – 50/50.
    По малко по-друг начин – тя има момиче. Каква е вероятността второто дете да е момче? Ами 50%, нали вероятността да се роди момче е 50%? (при условие, че Петя е момиче и е дете на Дени)

    Всъщност коментирам този пост, защото ми стана интересно, дали ми е неправилна логиката, нищо, че се получава същия резултат?


    begemot
    януари 13th, 2010
  9. или математически:
    Вероятността едното дете да е момиче P(F), вероятността другото дете да е момче Р(М). Вероятността да са момче и момиче P(FnM)= P(F)*P(M), но P(F)=1 (знаем, че едното е момиче), а P(M) e 0.5 и 1*0.5=0.5 ? Не е ли по-просто решение?


    begemot
    януари 13th, 2010
  10. Сбъркала си малко в сметките на първото разсъждение.

    Както си написала трите възможности f/f, f/m и m/m, те НЕ са равновероятни. Вероятността на f/f е 1/4, на m/m е 1/4, а на f/m е 1/2, т.е. f/m е два пъти по-вероятно от f/f. В тези означения не следиш реда кое дете се е родило първо, и така подценяваш вероятността на f/m. Ако отчиташ реда на раждане ще имащ ЧЕТИРИ възможности f/f, f/m, m/f и f/f (и от тях f/m и m/f са съставните части на твоето f/m), които вече са равновероятни.

    Та по твоите означения като махнеш възможността m/m, то би трявбало да получиш вероятност 1/3 за f/f и 2/3 за f/m, понеже както вече споменахме АПРИОРНО определихме че f/m е два пъти по-вероятно от f/f.

    Второто ти разсъждение ще е правилно, ако покажеш, че факта че Дени е казала име на момиче не променя вероятностите за пола на другото дете да е момиче. Това действително е така в тази задача, но трябва да се сметне или изкаже.

    Пример, където такава сметка не работи коректно:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
    където отварянето на уж незначима врата прехвърля вероятностите асиметрично.

    Но с тази вметка второто ти разсъждение е коректно :-).


    admin
    януари 13th, 2010
  11. [...] Втори вариант на задачката за децата на колежката Петя. [...]

  12. деца, деца … :)
    Каква е вероятността едно дете да е момче? – по условие 50%.
    Има ли връзка между това, че една жена е родила момиче и пола на второто й дете? – вероятно в живота има, но в условието на задачата „ни звук, ни стон“ :) И защо тогава ни е нужна формула на Бейс (която не е нищо друго освен така наречената формула за включване и изключване – пресмята се мярката на обединение на измерими множества)?
    отговор 50%


    Владимир Бабев
    октомври 7th, 2011
  13. доц. Бабев, а Вие нямате ли си работа с околности на недефренцируеми точки, че се занимавате с такива задачки?!

    Ваш студент!


    Reptile
    ноември 8th, 2012

RSSАбонирай се за RSS feed